2011年10月4日星期二

上帝存在,帕斯卡说的

“我们既不知道上帝的存在,也不知道上帝的本质。然而我们将倾向于哪一边呢?……,这里进行的是一场赌博,…… 让我们来权衡一下在上帝存在的赌注中的得失。让我们估计这两种可能性,如果你赢了,你赢得所有;如果你输了,你却一无所失。因此,你就不必迟疑去赌上帝的存在吧。”
这是帕斯卡在他的《思想录》中说的。
这其实是说一个条件期望。在相信上帝存在的条件下,期望收益是正的。在不相信上帝存在的条件下,期望收益是0。中国民间关于鬼神等无法实证的事物是否存在,流传着一句神似的说法:宁可信其有。

在那个年代,不奇怪,帕斯卡身边有个和他一样对古典概率论痴迷的神经质,比如费马。
一个周日的下午,帕斯卡和费马在巴黎的一个咖啡馆觉得无聊,于是玩抛硬币。正面费马得一分,背面帕斯卡得一分,谁先得到10分谁赢,输的买单。
15次后,费马得8分,帕斯卡得7分。这时他们玩烦了,决定提前结束这个无聊的游戏。他们不是中国人,不会争着去买单。也不是美国人,不会evenly share the bill。
他们太无聊了,决定用一种他们认为公平的方式来结束这个周末。
于是帕斯卡管邻桌的教授借来了笔和纸。帕斯卡和费马在几轮争论后,最终接受了费马的解法:
游戏将在至多4轮后结束,只需要将2^4种可能的序列枚举出来即可。h表示正面,t表示背面,*表示费马赢。
h h h h * h h h t * h h t h * h h t t *
h t h h * h t h t * h t t h * h t t t
t h h h * t h h t * t h t h * t h t t
t t h h * t t h t t t t h t t t t

显然这16种序列出现的可能性相同,所以11/16的概率是帕斯卡买单了。因此,公平起见,帕斯卡付账单的11/16,费马付剩下的。

帕斯卡当时不会想到,这其实是金融工程中经典的风险资产定价问题。
假设账单价格为1法郎,对于帕斯卡来说,他收益是一杯咖啡,成本有两种可能,一种是自己请客,也就是赌输了,支付1法郎,另一种是费马请客,自己一分钱不掏。前者的概率为11/16。帕斯卡可以选择一路赌下去,碰碰运气,不过他选择了无风险投资,避免自己全盘皆输,因为局势已经不利于自己了。费马也同意这个无风险的方案,因为他可以立即套现,什么也没有做就立即赚到1/2-5/16=3/16法郎,落袋为安。
为什么帕斯卡此时必须支付11/16法郎?
如果帕斯卡支付的少于11/16法郎,那么费马将选择继续赌下去,因为他可以算出来,在当前情形下,赌下去期望的花费更少。
如果帕斯卡支付的多于11/16法郎,那么帕斯卡还不如赌下去。
所以帕斯卡没有其他选择,只能支付他的条件期望。
当然,这里假设帕斯卡和费马都是风险中性的投资者。要是其中一个或者两个是风险厌恶型或风险偏好型,就另当别论了。

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