2011年1月2日星期日

两个不幸等价的随机数生成器

中午接到电话,研究生同寝的哥们儿回北京了。于是一起去平安里吃烤鱼,一边吃鱼,一边研究一个随机数生成器的问题,一个学生问他的。
随机数生成器A:1/2的概率返回1,1/2的概率返回0。
随机数生成器B:先以[a, 1-a]均匀分布生成一个p,然后以p的概率返回1,1-p的概率返回0。其中0<a<0.5。
问题是,若只能观测这两个随机数生成器的返回结果,如何区分二者?
他说,好像无法区分,因为计算发现二者返回值的分布函数相同,却不知如何证明。
我想:样本方差相同么?后验概率相同么?回家一算,发现很不幸,也都相同。
可能这个题当初是考察离散、连续混合情形下的全概率公式的使用吧,确实在推导过程中容易陷入符号上的混乱。
用分部积分公式可以将这个结论推广:如果p是连续型随机变量,分布函数为F(t),那么上面两个随机数生成器等价当且仅当F(t)在[a, 1-a]上的积分=1/2-a

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