2010年12月1日星期三

n次根号下p[1]..p[s]是无理数

命题:
n次根号下p[1]..p[s]是无理数,其中p[i]是素数,n>1
证明:
假设存在自然数a,b使得(p[1]..p[s])^(1/n)=a/b
则对a,b做素因子分解
a=p[1]^a[1]..p[s]^a[s]
b=p[1]^b[1]..p[s]^b[s]
其中a[i],b[i]为非负整数
则p[i]^(1/n)=p[i]^(a[i]-b[i])
即1=n(a[i]-b[i]),这对于n>1是不可能的

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