2009年1月9日星期五

LLE Algorithm and Implement in Matlab

《数学建模案例分析》的大作业用LLE算法,但是原作者网站上提供的源代码有些问题,主要是因为不同版本的Matlab,内置函数eigs返回的特征向量的顺序不同:老版本对应的特征值是升序,而新版本的是降序。

在这个问题中,0总是特征值,对应的特征向量为(1,1,…,1),这不是我们要的(如果把它放进来,则用它给swiss_roll数据集降维总得到一条粗直线。)

如果你用的是Matlab6.5,则应该把line 65

Y = Y(:,2:d+1)'*sqrt(N);

改为

Y = Y(:,n-d:n-1)'*sqrt(N);

打了这个补丁之后,lle.m就可以正常工作了!

 

我认为LLE算法很漂亮,下面过一下它的设计与实现~原作者的paperlle做关键词即可在Google上搜到。

 

问题的提法:

ND维列向量X1,…,XN,希望通过映射得到Nd(<D)维列向量Y1,…,YN,要求保持邻域关系:原来离的近的点,映射过来也近。

LLE算法的思想:如果原像Xi能够表示成他邻域内点的线性组合,则像Yi也应该用相同的组合系数表示成对应像点的线性组合。即:局部线性嵌入。

算法骨架

1、  求近邻:计算每个Xi的邻居集合Si

直接用2范数下的K近邻,其中K作为算法的参数

2、  求权:改变组合系数W,极小化局部线性表出原像的方差

WN×N矩阵,Ei=Xi-{jSi}{WijXj}D维残差向量,极小化E(W)={i}{|Ei|^2},满足如下约束:归一化——W行和为1、局部性——对于任意iWij=0j不属于Si

3、  求像:改变Y1,…,YN,极小化用W重构Y1,…,YN的方差

Ei=Yi-{jSi}{WijYj}d维残差向量,极小化E(Y)={i}{|Ei|^2}

算法实现细节

1、  求近邻

XDN列的矩阵,X的第j列为输入向量Xj

向量XiXj的距离为sqrt(|Xi-Xj|^2),得到距离方阵distance,然后每行排序,取前k个,对应原下标就是近邻点的编号。在Matlab中实现如下

X2 = sum(X.^2,1);

distance = repmat(X2,N,1)+repmat(X2',1,N)-2*X'*X;

[sorted,index] = sort(distance);

neighborhood = index(2:(1+K),:);

这里充分利用了矩阵运算技巧避免了编程中使用循环,不仅使代码紧凑,而且Matlab矩阵运算底层优化了性能。下面逐一解释——

a)       距离方阵

首先注意到这样一个事实|Xi-Xj|^2=|Xi|^2+|Xj|^2-2<Xi, Xj>,其中< , >为内积。

X2 = sum(X.^2,1)1N列的矩阵,第j个元素为Xj列的平方和,也就是|Xj|^2

repmat是平铺函数,repmat(X2,N,1)得到N×N方阵,每行都是X2,同理repmat(X2',1,N)每列都是X2''是转置的意思。X'*X得到N×N方阵,(i,j)位置元素为<Xi, Xj>。因此distance就是我们要的距离方阵的平方。

b)      省去开平凡

因为我们只需要K近邻,而不需要具体的距离值,而开平方是严格单调函数,保序,因此我们可以省去开平方,节省了计算量。

c)      反向索引

sort给矩阵每列排序,并返回置换前后下标的映射关系indexindex(i,j)distancej列第i小的元素的下标。我们要每列前K小的下标,也就是每个XiK近邻。取2:(1+K)是因为Xi到自己的距离总是0最小,排除掉。

       任意两个点至少做一次内积O(D),共O(N^2)个点对,故复杂度:O(DN^2)

2、  求权

首先,因为对于任意iWij=0j不属于Si,故W只需要存KN列即可。

其次,易见E(W)极小当且仅当每一求和项极小,因此我们依次计算W的每一列。固定列i,记x=Xiw=Wi列,ŋj=Xj,极小化|x-{j=1..K}{wjηj}|^2,满足归一化约束∑{ j=1..k }{wj}=1。用矩阵语言描述:记B=( ŋ1-x,…, ηk-x)D×K矩阵,G=B'BK×K方阵(讲义中称之为Gram方阵,半正定,在摄动意义下总可以假设它非奇异),e=(1,…,1)'K维单位列向量,则问题化为——

min |Bw|^2也就是min w'Gw(二次型)

s.t. e'w=1

用拉格朗日乘数法求此条件极值:做辅助函数F(w,λ)= w'Gw-λ(e'w -1)

对每个wj求偏导数令为0Gw=λe,反解出w=G^{-1}λe,代入到归一化约束得

λ=(e'G^{-1}e)^{-1},即最优解w=(e'G^{-1}e)^{-1} G^{-1}e

实际操作时,我们先解线性方程组Gw=e,然后再将解向量w归一化,易见得到的就是上述最优解。

Matlab中如下实现:

W = zeros(K,N);

for ii=1:N

   z = X(:,neighborhood(:,ii))-repmat(X(:,ii),1,K); % 计算B

   C = z'*z;                               %  计算G,复杂度O(DK^2)

   C = C + eye(K,K)*tol*trace(C);             % 必要时摄动

   W(:,ii) = C\ones(K,1);                  % 解方程Gw=e,高斯消去复杂度O(K^3)

   W(:,ii) = W(:,ii)/sum(W(:,ii));               % 解向量w归一化

end;

故总复杂度O(DNK^3)

3、  求像

将上一步得到的W视为N×N方阵,Yd×N矩阵,YjYj为降维映射下Xi的像。min {i}{|Yi-{j}{WijYj}|^2}

注意到Yi-{j}{WijYj}={j}{ Wij (Yi-Yj)},因此若Y为最优解,则所有Yi平移任一相同的向量也是最优解,为了定解,我们不妨假设∑{j}{Yj}=0。事实上,若∑{j}{Yj}=Z,则有∑{j}{Yj-Z/N}=0

此外,Y=0为平凡最优解,为了避免这种退化情形,我们不妨假设∑{j}{YjYj'}/N=I,即∑{j}{YajYbj}=Nδ(a,b),即Yd个行向量,都在半径为sqrt(N)N维单位球上,且两两正交。

验证:∑{i}{|Yi-{j}{WijYj}|^2}={i,j}{MijYi'Yj},其中M=(Mij)=(I-W)'(I-W)

={i}{Yi'Yi-2{j}{WijYi'Yj}+({j}{WijYj'})({k}{WikYk})}

={i}{Yi'Yi}

-2{i,j}{WijYi'Yj}

+{i,j,k}{WijWikYj'Yk}

={i,j}{δij Yi'Yi}

-{i,j}{WijYi'Yj}

-{i,j}{WjiYi'Yj}

+{j,k}{{i}{WijWik}Yj'Yk}

={i,j}{(δij-Wij-Wji+{k}{WkiWkj})Yi'Yj}

=

而在单位球上极小化二次型∑{i,j}{MijYi'Yj}当且仅当Y每行是M最小的d个特征值对应的特征向量,排除0对应的特征向量。(d=1的情形为Rayleigh-Ritz定理。)

这步复杂度取决于计算矩阵(部分)特征值/向量算法的复杂度。

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