2009年1月13日星期二

Keypoints for Basic Functional Analysis

Keypoint for Basic Functional Analysis
基础泛函分析知识点整理
度量空间

聚点:x∈G',若x的任何去心邻域交G非空

闭集的等价定义:
1、余集是开集
2、闭包为自身
3、若其中一序列收敛,则极限点属于集合

闭包的等价定义
1、G的闭包=G∪G'
2、G的闭包是包含G的最小闭集

可分空间的子空间可分
对X'可分,则X可分
C[0,1]可分
l∞不可分

完备子集闭
完备空间的闭子空间完备
自反,则完备
离散度量空间总完备
lp、l∞、c0、c、C[a,b]完备

M是紧子集,若M的任何序列都有收敛到M中的子列
紧空间完备
紧子集是有界闭集
紧集中的闭集是紧的
点到紧集的距离总可达到

压缩映射:T:X->X成为压缩的,若存在0<a<1,d(Tx,Ty)<=ad(x,y)对于任意x,y∈X
不动点:x为T不动点,若Tx=x
不动点定理:X完备,存在m>0使得Tm压缩,则T有唯一不动点

连续映射:
开集的原像是开集、闭集的原像是闭集
把紧集映成紧集
与极限号可交换

线性空间

G是Hamel基,若G无关且spanG=X
有限维线性空间代数自反

实线性空间X,Z为子空间,p为X上次线性泛函,f属于Z*,f(x)<=p(x)对于任意x∈Z,则存在g属于X*使得g|Z=f,g(x)<=p(x)对于任意x∈X
线性空间X,Z为子空间,p为X上半范,|f(x)|<=p(x)对于任意x∈Z,则存在g属于X*使得g|Z=f,|g(x)|<=p(x)对于任意x∈X

赋范空间

度量具有平移不变性、比例缩放、球可线性运算

(en)为Schauder基,若对于任意x∈X,存在唯一λn使得x=∑λnen
X有Schauder基,则X可分
Schauder基无关,则dimX=∞

Reiz引理:X是赋范空间,Y是Z真子空间,Y是闭集。对于任意0<θ<1,存在z∈Z,||z||=1,使得ρ(z,Y)>θ

X是有限维赋范空间,(ei)是X的基,则存在a>0,使得a||x||1<=||x||对于任意x成立
有限维赋范空间是Banach空间
有限维赋范空间中有界闭集是紧集
赋范空间X,X有限维当且仅当单位闭球是紧的
赋范空间中,点到有限维子空间的距离总可达到

X严格凸,点到闭子空间的距离至多可达一处

X,Y赋范空间,T:X->Y线性,则三者等价:T连续,T在0处连续,T有界算子

Z为X子空间,f∈Z',则存在g∈X',g|Z=f,|g|=|f|
对于非零元x,存在f∈X',|f|=1,f(x)=|x|
|x|=max{f(x)|f∈X',|f|=1}
Y真闭,x=X-Y,则存在f∈X',|f|=1,f|Y=0,f(x)=ρ(x,Y)>0

T属于B(X,Y),定义共轭算子T×:Y'->X',T×f定义为fT,f∈Y'

自反,则完备
H自反,lp自反
l1、l∞、c0、C[a,b]不自反

Banach空间

赋范空间完备,当且仅当任何绝对收敛的级数都收敛
X,Y赋范空间,B(X,Y)完备当且仅当Y完备

X完备,Tn∈B(X,Y):
对于任意x∈X,Tnx有界,则Tn有界
Tn弱收敛到T,则T有界
T∈B(X,Y),Tn强收敛到T,当且仅当Tn有界且Tn在X的一个完全集上处处收敛到T

X,Y完备:
T∈B(X,Y),若T满,则T为开映射,若T双,则T逆连续
D(T)闭,T闭,则T∈B(X,Y)
X,Y赋范空间,T∈B(D(T),Y):
D(T)闭,则T闭
T闭,Y完备,则D(T)闭

Hilbert空间

范数由内积给出,当且仅当平行四边形等式成立|x+y|2+|x-y|2=2|x|2+2|y|2

内积空间中,点到完备凸集的距离唯一达到,特别到闭子空间对
内积空间中,点到子空间的距离可达到

任何集合的正交补都是闭子空间
X=MN,若任意x∈X,存在唯一m∈M,n∈N,使得x=m+n
X为Hilbert空间,M为闭子空间,则X=MM正交补
M完全当且仅当M正交补为{0}

Bessal不等式:(ei)为标准正交列,则∑|<x,ei>|2<=||x||2

完全标准正交集,可数则Schauder基,有限则Hamel基
Hilbert空间总有完全标准正交基
伴随算子:H1,H2为Hilbert空间,T∈B(H1,H2),T*∈B(H2,H1)使得<T*y,x>=<y,Tx>

点到集合的距离
有限维内积



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